最近由于机缘巧合，做了一些关于爱因斯坦量子热容理论早期实验验证的调研，记录于此。
大部分资料原文为英文，由于我的英语水平有限，所以可能会有一些理解错误，请读者见谅。
1907年，爱因斯坦发表了第一篇用量子理论来解释低温下物质热容变化的文章，名字是《Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme》，用英语应该写成《Planck’s theory of radiation and the theory of the specific heat》，意思是普朗克辐射理论和比热理论。由于量子比热理论使用的假设与经典理论冲突不大且容易理解，这篇文章遭到的反对和质疑远少于他两年前发表的关于光电效应的文章。也正因为此，到1911年底就已经有了相当多直接或间接的实验验证，其中很大一部分来自于瓦尔特·能斯特 (Walther Nerst) 的实验室。
在量子热容理论出现的早期，能斯特就注意到了这一理论，但是他并没有直接接受。直到1910年2月，经过长达3年的实验，能斯特发表了他的对爱因斯坦理论的实验结果。结果表明，实验结果和理论预测在定性上吻合得很好。值得一提的是，由于当时的实验条件十分有限，早期的工作者难以精确测量低温下的比热变化，能够测量的是在一个大的温度范围内热量变化的平均值，这极大地限制了能斯特实验的精度。他的低温比热实验有相当难度，实验方案要求测量比热的最低温度达到液氢温度（氢的沸点为-252.9℃，即20.3K），可是氢的液化还刚由杜瓦实现不久，技术上存在很多问题。为解决这些问题，能斯特发展了一套新的实验方法和仪器。由于语言的限制，他的实验方法无法了解细节，而实验装置如下图所示。
这个实验装置中间是一个大的用于冷却浴的真空杜瓦瓶，可以用橡胶盖和软木塞密封。带孔的塞子可以从中抽出氢气，从而进一步降低温度。长圆柱形容器用于容纳量热计及其保护套，顶部的开口用适当宽度的玻璃塞密封，并通过它们引入必要的线，该玻璃管用白色虫胶非常小心地密封。还有一个非常宽的玻璃管用于连接玻璃塞和盖德分子空气泵，其末端是一个止动阀。
能斯特和他的学生为这个实验发明了三种新的真空量热计，具体样式见下图。通过这种量热计，能斯特将温度间隔缩短至1-2度，很大地提高了实验精度。
下图是改进前使用的铜量热器。
1910年的实验结果并没有让能斯特完全倒向热容理论的量子描述，真正促进他成为该理论的坚定支持者的契机是他的学生林德曼 (Frederick Lindemann) 。1911年，林德曼提出了一个基于爱因斯坦理论的修正模型，这个模型基于一个非常简单和合理的物理假设。在固体的熔点处，其结构被破坏，因此林德曼认为在熔化温度下原子振动的幅度必须是晶体中原子间距离的某个确定分数。这个假设使他能够简单地根据熔化温度，分子量和密度来表示振动频率，他们得到的结果与测量得到的光学吸收频率很好地吻合。
1911年晚些时候，能斯特和林德曼联合发表文章，他们基于量子热容理论的单频谐振子模型，提出了双原子气体的双谐振子模型。这一模型提出的原因在之前已经提到过了，爱因斯坦的原始理论在低温时的计算结果和实验结果只是定性地符合，在数值上仍存在相当的误差。下图是N-L模型与实验数据的比较，不过可以看到，当时实验的温度并不算很低。
上图是能斯特和林德曼的论文原文，语言为德语。可以看到，文章中的公式即为双谐振子模型。
1911年，第一届索维尔会议召开，能斯特和爱因斯坦分别做了报告，并且交流了研究成果。1920年，能斯特由于他在低温领域尤其是在热力学第三定律上做出的巨大贡献，获得了诺贝尔化学奖。而爱因斯坦在1921年由于光电效应获得诺贝尔物理学奖。其实这里也有很多故事，有兴趣的读者可以自行了解。
实际上在动手调查之前，我完全没有想到前人对这个问题的研究是如此的谨慎，很多现在习以为常的观念和模型在那个时代都不存在，所有的研究都像是摸着石头过河。其实把这种状态放到今天也是一样的，也许多年以后的人再回顾如今的科学研究也会难以理解我们的无知和迷茫吧。
谨以此文献给科学道路上的先行者。